Question

如图，在直角坐标系中，O为原点．点A在x轴的正半轴上，点B在y轴的正半轴上，tan∠OAB=2．二次函数y=x²+mx+2的图象经过点A，B，顶点为D

（1）求这个二次函数的解析式；
（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，点B落到点C的位置．将上述二次函数图象沿y轴向上或向下平移后经过点C．请直接写出点C的坐标和平移后所得图象的函数解析式；
（3）设（2）中平移后所得二次函数图象与y轴的交点为B₁，顶点为D₁．点P在平移后的二次函数图象上，且满足△PBB₁的面积是△PDD1面积的2倍，求点P的坐标．

Answer 1

解：（1）由题意，点B的坐标为（0，2）， ∴OB=2， ∵tan∠OAB=2，即=2． ∴OA=1． ∴点A的坐标为（1，0）． 又∵二次函数y=x2+mx+2的图象过点A， ∴0=12+m+2． 解得m=﹣3， ∴所求二次函数的解析式为y=x2﹣3x+2． （2）作CE⊥x轴于E， 由于∠BAC=90°，可知∠CAE=∠OBA， △CAE∽△OBA，可得CE=OA=1，AE=OB=2， 可得点C的坐标为（3，1）． 由于沿y轴运动，故图象开口大小、对称轴均不变， 设出解析式为y=x2﹣3x+c，代入C点作标得1=9﹣9+c，c=1， 所求二次函数解析式为y=x2﹣3x+1． （3）由（2），经过平移后所得图象是原二次函数图象向下平移1个单位后所得的图象，那么对称轴直线x=不变，且BB1=DD1=1． ∵点P在平移后所得二次函数图象上， 设点P的坐标为（x，x2﹣3x+1）． 在△PBB1和△PDD1中， ∵S△PBB1=2S△PDD1，∴边BB1上的高是边DD1上的高的2倍． ①当点P在对称轴的右侧时，x=2（x﹣），得x=3， ∴点P的坐标为（3，1）； ②当点P在对称轴的左侧，同时在y轴的右侧时，x=2（﹣x），得x=1， ∴点P的坐标为（1，﹣1）； ③当点P在y轴的左侧时，x＜0，又﹣x=2（﹣x）， 得x=3＞0（舍去）， ∴所求点P的坐标为（3，1）或（1，﹣1）．