Question

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于D，交AC于E，过D作DF⊥AC于F
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接DE，且AB=4，若∠FDC=30°，试求△CDE的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵OB=OD，
∴∠B=∠ODB，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，
则DF为圆O的切线；

（2）连接DE，AD，
∵∠FDC=30°，∠DFC=90°，
∴∠C=60°，
∵AB=AC，
∴△ABC为等边三角形，
∵∠CED为圆内接四边形ABDE的外角，
∴∠CED=∠B=60°，
∴△DEC为等边三角形，
∵AB为圆O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，
∴D为BC的中点，即DC=

1

2

BC=

1

2

AB=2，
∴EC=DC=2，DF=

3

，
则S_△DEC=

1

2

×2×

3

=

3

．