Question

15．阅读材料：已知m=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$，求2m²-8m+3的值．
解：∵m=$\frac{1}{2-\sqrt{3}}$=$\frac{2+\sqrt{3}}{（2-\sqrt{3}）（2+\sqrt{3}）}$=2+$\sqrt{3}$．
∴m-2=$\sqrt{3}$，∴（m-2）²=3，m²-4m+4=3
∴m²-4m=-1，
∴2m²-8m+3=2（m²-4m）+3=2×（-1）+3=1
请根据以上的分析过程，解决下列问题：
（1）化简$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$；
（2）若n=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，
①求4n²-8n+1的值；
②请直接写出以下代数式的值：
4n³-9n²-2n+1=0；
3n²-7n+$\frac{1}{n}$+4=5．

Answer 1

分析 （1）首先找出有理化因式进而化简求出答案；
（2）①首先化简n的值，进而将原式变形求出答案；
②将原式变形进而将已知代入求出答案．

解答 解：（1）$\frac{1}{\sqrt{2}+1}$+$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$+$\frac{1}{2+\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$
=$\sqrt{2}$-1+$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{3}$+…+3-2$\sqrt{2}$
=2；

（2）∵n=$\frac{1}{\sqrt{2}-1}$，
∴n=$\sqrt{2}$+1，
则n-1=$\sqrt{2}$，
①4n²-8n+1=4（n-1）²-3=4×2-3=5；
②4n³-9n²-2n+1
=n（4n²-8n）-n²-2n+1
=4n-n²-2n+1
=-（n²-2n）+1
=-（n-1）²+2
=-（$\sqrt{2}$+1-1）²+2
=0；
3n²-7n+$\frac{1}{n}$+4
=3（$\sqrt{2}$+1）²-7（$\sqrt{2}$+1）+$\sqrt{2}$-1+4
=3（3+2$\sqrt{2}$）-7$\sqrt{2}$-7+$\sqrt{2}$+3
=5．
故答案为：0，5．

点评 此题主要考查了分母有理化，正确得出有理化因式是解题关键．