Question

4．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC，BD相交于点O，有下面四个结论：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△BOC；③S_△AOD=S_△BOC；④S_△DOC：S_△BOA=DC：AB，其中，结论一定正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据相似三角形的判定定理即可得到△AOB∽△COD，故①正确；根据相似三角形的性质即可得到S_△COD：S_△BOA=（$\frac{DC}{AB}$）²，故④错误；设梯形ABCD的高为h，则S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AB•h，S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•h，于是得到S_△ABC=S_△ABD，推出S_△AOD=S_△BOC，故③正确；在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误．

解答 解：∵AB∥CD，
∴∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，
∴△AOB∽△COD，故①正确；
∴S_△COD：S_△BOA=（$\frac{DC}{AB}$）²，故④正确；
设梯形ABCD的高为h，则S_△ABD=$\frac{1}{2}$•AB•h，S_△ABC=$\frac{1}{2}$•AB•h，
∴S_△ABC=S_△ABD，
∴S_△AOD=S_△BOC，故③正确；
在△AOD与△BOC中，只有∠AOD=∠BOC，再找不到任何一对角相等，也不能说明夹此角的两边对应成比例，故②错误．
故结论始终正确的序号是①③，共2个．
故选B．

点评 此题综合考查了相似三角形的判定及性质、求三角形的面积比的方法：面积公式，相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．