Question

15．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD=90°，且DC=2AB，分别以DA、BC、DC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S₁=7，S₂=4，则S₃的面积是44．

Answer 1

分析 延长DA、CB交于点E，由正方形的性质得出AD=$\sqrt{7}$，BC=2，由平行线得出△ABE∽△DCE，得出对应边成比例$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CD}$，得出DE=2AE=2AD=2$\sqrt{7}$，CE=2BE=2BC=4，证出∠E=90°，由勾股定理求出CD²即可．

解答 解：延长DA、CB交于点E，如图所示：
∵S₁=7，S₂=4，
∴AD=$\sqrt{7}$，BC=2，
∵AB∥CD，
∴△ABE∽△DCE，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}=\frac{AB}{CD}$，
∵DC=2AB，
∴$\frac{AE}{DE}=\frac{BE}{CE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=2AE=2AD=2$\sqrt{7}$，CE=2BE=2BC=4，
∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠E=90°，
∴CD²=DE²+CE²=（2$\sqrt{7}$）²+4²=44，
∴S=44；
故答案为：44．

点评 本题考查了正方形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的判定等知识；本题综合性强，证明三角形相似和运用勾股定理是解决问题的关键．