Question

2．如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于点M，N，

（1）那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；
（2）若将过O点的直线旋转至图（2）（3）的情况下，其他条件不变，那么（1）中的关系还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图（1），证明AM∥CN，得到△AMO∽△CNO；进而得到∠1=∠2，$\frac{AM}{CN}$=$\frac{AO}{CO}$，结合AO=CO，即可解决问题．
（2）如图（2），运用与（1）中，类似的方法，证明证明AM∥CN，得到△AMO∽△CNO；进而得到∠1=∠2，$\frac{AM}{CN}$=$\frac{AO}{CO}$，结合AO=CO，即可解决问题．

解答 解；（1）∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AM∥CN，△AMO∽△CNO
∴∠1=∠2；$\frac{AM}{CN}$=$\frac{AO}{CO}$，
∵AO=CO，
∴AM=CN．

（2）在图（2）、（3）两种情况下，
（1）中的结论仍然成立．
以图（2）说明如下：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，△AMO∽△CNO
∴∠1=∠2；$\frac{AM}{CN}$=$\frac{AO}{CO}$，
∵AO=CO，
∴AM=CN；
以图（3）说明如下：∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD∥BC，△AMO∽△CNO
∴∠1=∠2；$\frac{AM}{CN}$=$\frac{AO}{CO}$，
∵AO=CO，
∴AM=CN．

点评 该题主要考查了旋转的性质，平行四边形的判定等几何知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握定理本质内容，灵活运用动态的观念，来观察、分析、运动图形中的不变元素．