Question

7．如图，直线y=x+1和y=-x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A的双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与直线y=-x+3的另一交点为点D．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求△BCD的面积．

Answer 1

分析 （1）先通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得A（1，2），然后把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$中求出k的值即可得到反比例函数解析式；
（2）根据反比例函数与一次函数的交点问题，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得D（2，1），再利用x轴上点的坐标特征确定B点和C点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．

解答 解：（1）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，
则A（1，2），
把A（1，2）代入y=$\frac{k}{x}$得k=1×2=2，
所以反比例函数解析式为y=$\frac{2}{x}$；
（2）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=-x+3}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
则D（2，1），
当y=0时，x+1=0，解得x=-1，则B（-1，0）；
当y=0时，-x+3=0，解得x=3，则C（3，0），
所以△BCD的面积=$\frac{1}{2}$×（3+1）×1=2．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．