题目内容
2．如图1，等腰梯形ABCD，AB=CD，BC∥AD，BC⊥y轴，C为垂足．点A（-3，0），B（-1，2）．（1）直接写出点C、D的坐标．C（0，2），D（2，0）．
（2）如图2，若P为线段OC上一点，连接PA、PB，以PA、PB为边作平行四边形PAQB，连接PQ，交AB于点G．试探究：
①是否存在这样的点P，使对角线PQ，AB的长相等，为什么？
②是否存在这样的点P，使得PQ取得最小值？若存在，请求出这个最小值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，P为线段OC上任意一点，延长PB到E，使BE=PB，以PE、PA为边作平行四边形PAQE，连接PQ．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，直接写出最小值；如果不存在，请说明理由．
分析 （1）根据题意即可求得点C、D的坐标；
（2）①首先得出四边形PAQB为矩形，则∠APB=90°，进而得出△PAO∽△BPC，以及$\frac{PO}{BC}$=$\frac{AO}{PC}$，得出这样的点不存在；
②设AB交PQ于点M，利用PQ取得最小值时，MP必定取得最小值，求出MP的长，即可得出答案．
（3）设AB交PQ于点M，PE∥AQ，PB=BE，可得$\frac{DG}{GA}$=$\frac{PB}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，易证得Rt△BCP∽Rt△HAQ，继而求得AH的长，即可求得答案；
解答 
解：（1）根据题意得C（0，2），D（2，0）；
故答案为0，2，2，0；
（2）①不存在这样的点P，使对角线PQ，AB的长相等．
理由如下：∵四边形PAQB为平行四边形．PQ=AB．
∴四边形PAQB为矩形，
∴∠APB=90°．
若∠APB=90°，
则当点P在线段OC上时，可得△PAO∽△BPC．
∴$\frac{PO}{BC}$=$\frac{AO}{PC}$．
设OP=m，则$\frac{m}{1}$=$\frac{3}{2-m}$，
即m2-2m+3=0．这个方程没有实数根．
∴∠APB=90°显然不可能成立． 
∴不存在这样的点P，使对角线PQ，AB的长相等．
②设AB交PQ于点M，如图所示．
∵四边形PAQB为平行四边形，
∴M为AB、PQ的中点．
PQ取得最小值时，MP必定取得最小值．
显然，当P为OC的中点时，由梯形中位线定理可得MP∥CB，
∴MP⊥y轴．
此时MP取得最小值为：$\frac{1}{2}$×（1+3）=2．
∴PQ的最小值为4．
PQ取得最小值时，P（0，1）．
（3）设AB交PQ于点M，
∵PE∥CQ，PB=BE，
∴$\frac{DG}{GA}$=$\frac{PB}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴G是DC上一定点，
作QH⊥OA，交OA的延长线于H，
∵BC∥AD，
∴∠ABC=∠BAH，
∵PE∥AQ，
∴∠ABP=∠BAQ，
∴∠PBC=∠QAH，
∴Rt△BCP∽Rt△HAQ，
即$\frac{BC}{AH}$=$\frac{PB}{AQ}$=$\frac{1}{2}$，
∴AH=2，
∴OH=OA+AH=3+2=5，
∴当PQ⊥OC时，PQ的长最小，即为5．
点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰梯形的性质、平行四边形的性质、矩形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键．
新题型全程检测期末冲刺100分系列答案
如图，直线y=x+1和y=-x+3相交于点A，且分别与x轴交于B，C两点，过点A的双曲线y=$\frac{k}{x}$（x＞0）与直线y=-x+3的另一交点为点D．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA 向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点．点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm．当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动．设P，Q两点运动时间为t秒．