Question

5．如图，四边形ABCD是矩形，将一块正方形纸板OEFG如图1摆放，它的顶点O与矩形ABCD的对角线交点重合，点A在正方形的边OG上，现将正方形绕点O逆时针旋转，当点B在OG边上时，停止旋转，在旋转过程中OG交AB于点M，OE交AD于点N．
（1）开始旋转前，即在图1中，连接NC．
①求证：NC=NA（M）；
②若图1中NA（M）=4，DN=2，请求出线段CD的长度．
（2）在图2（点B在OG上）中，请问DN、AN、CD这三条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．
（3）试探究图3中AN、DN、AM、BM这四条线段之间有什么数量关系？写出结论，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）①由矩形的对角线互相平分和正方形的内角都是直角，用线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等，②用勾股定理计算即可；
（2）和（1）一样得到NB=ND，在用勾股定理即可；
（3）先判断出BM=DH，再和前两个一样，得出MN=NH，再用勾股定理即可．

解答 解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，
∵四边形EFGO为正方形，
∴∠EOG=90°，
∴NC=NA；
②由①得，NA=NC=4，DN=2，
根据勾股定理得CD²=NC²-ND²，
∴CD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$；
（2）结论：NB²=NA²+CD²，
如图1，

连接NB，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，AB=CD，
∵四边形EFGO为正方形，
∴∠EOG=90°，
∴ND=NB；
根据勾股定理得，NB²=NA²+AB²=NA²+CD²，
（3）结论AN²+AM²=DN²+BM²，
如图2，

延长GO交CD于H，连接MN，HN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OD，∠OBM=∠ODH，
∵∠BOM=∠DOH，
∴△BOM≌△DOH，
∴BM=DH，OM=OH
∵四边形EFGO是正方形，
∴∠EOG=90°，
∴MN=MH，在Rt△NDH中，
NH²=DN²+DH²=DN²+BM²，
在Rt△AMN中，MN²=AM²+AN²，
∴DN²+BM²=AM²+AN²．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形和矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是线段垂直平分线的性质定理得应用．