Question

3．如图，AB为⊙O的直径，点C为$\widehat{AB}$的中点，弦CD交AO于点E，DE=4，CE=5，则tan∠B的值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{1}{4}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 连接OC，过O作OH⊥CE于E，过D作DF⊥AB于F，根据垂径定理得到CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{9}{2}$，根据相似三角形的性质得到OC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，OE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，DF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，EF=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，如何根据三角函数的定义即刻得到结论．

解答 解：连接OC，过O作OH⊥CE于E，过D作DF⊥AB于F，
∴CH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{9}{2}$，
∵AB为⊙O的直径，点C为$\widehat{AB}$的中点，
∴∠EOC=90°，
∴OC²=CH•CE=$\frac{9}{2}$×5=$\frac{45}{2}$，
∴OC=$\frac{3\sqrt{10}}{2}$，∴OE=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
∵DF⊥AB，OC⊥AB，
∴DF∥OC，
∴△OCE∽△DFE，
∴$\frac{OC}{DF}$=$\frac{OE}{EF}$=$\frac{CE}{DE}$，
∴DF=$\frac{6\sqrt{10}}{5}$，EF=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，
∴BF=$\frac{12\sqrt{10}}{5}$，
∴tan∠B=$\frac{DF}{BF}$=$\frac{1}{2}$，
故选D．

点评 本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键．