Question

13．如图，已知在矩形ABCD中，AB=a，BC=b，点E是线段AD边上的任意一点（不含端点A、D），连接BE、CE．
（1）若a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，解答下列问题：
①填空：b=12；
②当BE⊥AC时，求出此时AE的长；
（2）设AE=x，试探索点E在线段AD上运动过程中，使得△ABE与△BCE相似时，请写x、a、b三者的关系式．

Answer 1

分析 （1）①在矩形ABCD中，得到∠ABC=90°，解直角三角形即可得到结果；
②只要证明△AEB∽△BAC，得 $\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，由此即可解决问题．
（2）分两种情形讨论①当△ABE∽△EBC时，②当△BAE∽△CEB时，分别求解即可．

解答 解：（1）①∵在矩形ABCD中，
∴∠ABC=90°，
∵AB=a=5，sin∠ACB=$\frac{5}{13}$，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{5}{13}$，
∴AC=13，
∴BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=12，
∴b=12；
故答案为：12；

②∵BE⊥AC，
∴∠EBC+∠ACB=90°
又∵∠ABE+∠EBC=90°，
∴∠ABE=∠ACB，
又∵∠BAE=∠ABC=90°，
∴△AEB∽△BAC，
∴$\frac{AE}{AB}$=$\frac{AB}{BC}$，
即 $\frac{AE}{5}$=$\frac{5}{12}$，
∴AE=$\frac{25}{12}$；

（2）∵点E在线段AD上的任一点，且不与A、D重合，
∴当△ABE与△BCE相似时，则∠BEC=90°，
①当△ABE∽△EBC时，∠ABE=∠EBC=45°，
∴△EBC是等腰直角三角形，
BC=$\sqrt{2}$BE，BE=$\sqrt{2}$AB，
∴BC=2AB，即b=2a，x=a或x=$\frac{1}{2}$b．

②当△BAE∽△CEB
∴∠ABE=∠BCE，
又∵BC∥AD，
∴∠DEC=∠BCE，
∴∠ABE=∠DEC，
又∵∠BAE=∠EDC=90°，
∴△BAE∽△EDC，
∴$\frac{AE}{DC}$=$\frac{AB}{DE}$，
即 $\frac{x}{a}$=$\frac{a}{b-x}$，
∴x²-bx+a²=0，
即（x-$\frac{b}{2}$）2=$\sqrt{\frac{{b}^{2}-4{a}^{2}}{4}}$，
当b²-4a²≥0，
∵a＞0，b＞0，
∴b≥2a，
即b≥2a时，x=$\frac{b±\sqrt{{b}^{2}-4{a}^{2}}}{2}$．
综上所述：当a、b满足条件b=2a时△BAE∽△CEB，此时x=$\frac{1}{2}$b（或x=a）；当a、b满足条件b＞2a时△BAE∽△CEB，此时x=$\frac{b±\sqrt{{b}^{2}-4{a}^{2}}}{2}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，一元二次方程根的情况，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论思想思考问题，属于中考压轴题．