Question

如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，3）、B（1，2），△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A₁OB₁．
（1）画出△A₁OB₁，直接写出点A₁，B₁的坐标；
（2）在旋转过程中，点B经过的路径的长；
（3）求在旋转过程中，线段AB所扫过的面积．

Answer 1

考点：作图-旋转变换,弧长的计算,扇形面积的计算

专题：作图题

分析：（1）根据网格结构找出点A、B绕点O逆时针旋转90°后的对应点A₁、B₁的位置，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标；
（2）利用勾股定理列式求出OB的长，再利用弧长公式列式计算即可得解；
（3）根据AB扫过的面积等于以OA、OB为半径的两个扇形的面积的差列式计算即可得解．

解答：解：（1）△A₁OB₁如图所示，
A₁（-3，3），B₁（-2，1）；

（2）由勾股定理得，OB=

12+22

=

5

，
所以，弧BB₁=

90•π• 5

180

=

5

2

π；

（3）由勾股定理得，OA=

32+32

=3

2

，
S_扇形OAA1=

90•π•(3 2 )2

360

=

9

2

π，
S_扇形OBB1=

90•π• 5 2

360

=

5

4

π，
则线段AB所扫过的面积为：

9

2

π-

5

4

π=

13

4

π．

点评：本题考查利用旋转变换作图，弧长计算，扇形的面积，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键，（3）判断出AB扫过的面积等于两个扇形的面积的差是解题的关键．