Question

5．问题情景：
如图，在直角坐标系xOy中，点A、B为二次函数y=ax²（a＞0）图象上的两点，且点A、B的横坐标分别为m、n（m＞n＞0），连接OA、AB、OB．设△AOB的面积为S时，解答下列问题：
探究：
当a=1时，

	mn	m-n	S
m=3，n=1	3	2	3
m=5，n=2	10	3	15

当a=2时，

	2mn	m-n	S
m=3，n=1	6	2	6
m=5，n=2	20	3	15

归纳证明：
对任意m、n（m＞n＞0），猜想S=$\frac{1}{2}$amn（m-n）（用a，m，n表示），并证明你的猜想．
拓展应用：
若点A、B的横坐标分别为m、n（m＞0＞n），其它条件不变时，△AOB的面积S=$\frac{1}{2}$amn（m-n）（用a，m，n表示）．

Answer 1

分析 （1）探究：由抛物线解析式可求得A、B的坐标，利用待定系数法可求得直线AB的解析式，设直线AB交y轴于点C，则可求得OC的长，由S_△AOB=S_△OCA-S_△OCB可求得答案；
（2）归纳证明：由（1）的过程可得出结论，进行证明即可；
（3）拓展应用：同（1）的方法，可利用S_△AOB=S_△OCA+S_△OCB求得答案．

解答 解：
（1）探究：
如图1，设直线AB交y轴于点C，过点A作AD⊥y轴于点D，过B作BE⊥y轴于点E，

当a=1时，
∵A、B在抛物线上，
∴A（m，m²），B（n，n²），
∴AD=m，BE=n，
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b={m}^{2}}\\{nk+b={n}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=m+n}\\{b=-mn}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=（m+n）x-mn，
令x=0可得y=-mn，
∴OC=mn，
∴S_△AOB=S_△OCA-S_△OCB=$\frac{1}{2}$OC•AD-$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$OC（AD-BE）=$\frac{1}{2}$mn（m-n），
当m=3，n=1时，可得S=$\frac{1}{2}$×3×2=3，
当m=5，n=2时，可得S=$\frac{1}{2}$×10×3=15；
同理可得当a=2时，S=$\frac{1}{2}$×2mn（m-n）=mn（m-n），
当m=3，n=1时，S=$\frac{1}{2}$×6×2=6，
当m=5，n=2时，S=$\frac{1}{2}$×20×3=30；
故答案为：3；15；6；30；

（2）归纳证明：可猜想S=$\frac{1}{2}$amn（m-n）．
证明如下：同图1，
∵A、B在抛物线上，
∴A（m，am²），B（n，an²），
∴AD=m，BE=n，
设直线AB解析式为y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=a{m}^{2}}\\{nk+b=a{n}^{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=a（m+n）}\\{b=-amn}\end{array}\right.$，
∴直线AB解析式为y=a（m+n）x-amn，
令x=0可得y=-amn，
∴OC=amn，
∴S_△AOB=S_△OCA-S_△OCB=$\frac{1}{2}$OC•AD-$\frac{1}{2}$OC•BE=$\frac{1}{2}$OC（AD-BE）=$\frac{1}{2}$amn（m-n）；
故答案为：$\frac{1}{2}$amn（m-n）；

（3）拓展应用：
如图2，

同（2）可得S=S_△AOB=S_△OCA+S_△OCB=$\frac{1}{2}$amn[m+（-n）]=$\frac{1}{2}$amn（m-n），
故答案为：$\frac{1}{2}$amn（m-n）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形的面积、转化思想及方程思想等知识．利用待定系数法求得直线AB的解析式，求得OC的长，是解题的关键．本题考查知识点不多，关键是转化思想的应用．