Question

9．如图，在?ABCD中，E、F分别为边ABCD的中点，BD是对角线，过A点作平行四边形AGDB交CB的延长线于点G．
（1）求证：DE∥BF；
（2）若∠G=90，求证：四边形DEBF是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件证明BE=DF，BE∥DF，从而得出四边形DFBE是平行四边形，即可证明DE∥BF，
（2）先证明DE=BE，再根据邻边相等的平行四边形是菱形，从而得出结论．

解答 证明：（1）在平行四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD
∵E、F分别为AB、CD的中点
∴DF=$\frac{1}{2}$DC，BE=$\frac{1}{2}$AB
∴DF∥BE，DF=BE
∴四边形DEBF为平行四边形，
∴DE∥BF；

（2）∵AG∥BD，
∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC 为直角三角形，
又∵F为边CD的中点，
∴BF=$\frac{1}{2}$DC=DF，
又∵四边形DEBF为平行四边形，
∴四边形DEBF是菱形．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定．解题时，需要掌握平行四边形与菱形间的相互联系，难度适中．