Question

4．如图所示，平面直角坐标系xOy，点B在x轴上，四边形OBCD为等腰梯形，OD=BC=2，OB=5，M为OB边上一点，且∠1=∠2．
（1）求证：△BMC∽△ODM；
（2）求点M的坐标；
（3）若∠1绕点M逆时针旋转角a后得到∠EMF，E在DC边上，F在CB边上，试判断△DME与△CMF是否相似？并说明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根据等腰梯形的性质，判断出∠MBC=∠DOM；然后根据∠1=∠2以及三角形外角的性质，判断出∠BMC=∠ODM；最后根据三角形相似的判定方法，判断出△BMC∽△ODM即可．
（2）根据△BMC∽△ODM，可得$\frac{BM}{OD}=\frac{BC}{OM}$，所以$\frac{5-OM}{2}=\frac{2}{OM}$，据此求出OM的长度，即可确定出点M的坐标．
（3）首先根据题意，可得∠DME=∠CMF=a；然后根据△BMC∽△ODM，可得∠BCM=∠OMD，再根据CD∥BO，推得∠EDM=∠FCM，据此判断出△DME∽△CMF即可．

解答 （1）证明：如图1，，
∵四边形OBCD为等腰梯形，
∴∠MBC=∠DOM，
∵∠DMB=∠1+∠BMC=∠ODM+∠2，∠1=∠2，
∴∠BMC=∠ODM，
在△BMC和△ODM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MBC=∠DOM}\\{∠BMC=∠ODM}\end{array}\right.$
∴△BMC∽△ODM．
　　　　
（2）解：由（1）知△BMC∽△ODM，
∴$\frac{BM}{OD}=\frac{BC}{OM}$，
∵OD=BC=2，OB=5，
∴$\frac{5-OM}{2}=\frac{2}{OM}$，
整理，可得
OM²-5OM+4=0，
解得OM=1或OM=4，
∴点M的坐标为（-1，0）或（-4，0）．

（3）解：△DME与△CMF相似．　　　　　
如图2，，
根据题意，可得∠DME=∠CMF=a，
由（1）知△BMC∽△ODM，
∴∠BCM=∠OMD，
又∵CD∥BO，
∴∠EDM=∠OMD，
∴∠EDM=∠BCM，
即∠EDM=∠FCM，
在△DME和△CMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DME=∠CMF}\\{∠EDM=∠FCM}\end{array}\right.$
∴△DME∽△CMF．

点评 （1）此题主要考查了相似形综合题，考查了分析推理能力，考查了空间想象能力，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．
（2）此题还考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．