Question

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象交于A（a，-2），B两点．
（1）求反比例函数的表达式和点B的坐标；
（2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点C，连接PO，若△POC的面积为3，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）把A（a，-2）代入y=$\frac{1}{2}$x，可得A（-4，-2），把A（-4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$，可得反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$，再根据点B与点A关于原点对称，即可得到B的坐标；
（2）过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，先设P（m，$\frac{8}{m}$），则C（m，$\frac{1}{2}$m），根据△POC的面积为3，可得方程$\frac{1}{2}$m×|$\frac{1}{2}$m-$\frac{8}{m}$|=3，求得m的值，即可得到点P的坐标．

解答 解：（1）把A（a，-2）代入y=$\frac{1}{2}$x，可得a=-4，
∴A（-4，-2），
把A（-4，-2）代入y=$\frac{k}{x}$，可得k=8，
∴反比例函数的表达式为y=$\frac{8}{x}$，
∵点B与点A关于原点对称，
∴B（4，2）；

（2）如图所示，过P作PE⊥x轴于E，交AB于C，
设P（m，$\frac{8}{m}$），则C（m，$\frac{1}{2}$m），
∵△POC的面积为3，
∴$\frac{1}{2}$m×|$\frac{1}{2}$m-$\frac{8}{m}$|=3，
解得m=2$\sqrt{7}$或2，
∴P（2$\sqrt{7}$，$\frac{4}{7}\sqrt{7}$）或（2，4）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题时注意：反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式．