Question

13．如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA，CB分别切于D，E两点，直径FG在AB上，若BG=1，则△ABC的周长为8+6$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 首先连接OD，OE，易证得四边形ODCE是正方形，△OEB是等腰直角三角形，首先设OE=r，由OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$r，可得方程：1+r=$\sqrt{2}$r，解此方程，即可求得答案．

解答 解：连接OD，OE，
∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，
∴∠C=∠OEB=∠OEC=∠ODC=90°，
∴四边形ODCE是矩形，
∵OD=OE，
∴四边形ODCE是正方形，
∴CD=CE=OE，
∵∠A=∠B=45°，
∴∠EOB=∠EBO=45°，
∴OE=EB，
∴△OEB是等腰直角三角形，
设OE=r，
∴BE=OE=OG=r，
∴OB=OG+BG=1+r，
∴OB=$\sqrt{2}$OE=$\sqrt{2}$r，
∴1+r=$\sqrt{2}$r，
∴r=$\sqrt{2}$+1，
∴AC=BC=2$\sqrt{2}$+2，
AB=2$\sqrt{2}$（$\sqrt{2}+1$）=4+2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的周长=8+6$\sqrt{2}$，
故答案为：8+6$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．