Question

【题目】（1）如图1，在中，90°，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为________；

（2）在（1）的条件下，如果正方形绕点旋转，连接，

①线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；

②当正方形旋转到三点共线时，直接写出线段的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①不变化，证明见解析；②或．

【解析】

（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AB=AD，再得出AD=AF，即可得出结论；
（2）①先利用等腰直角三角形和正方形的性质得：，并证明夹角相等即可得出△ACF∽△BCE，进而得出结论；
②分两种情况：当点E在线段BF上时，如图2，先利用勾股定理求出EF=CF=AD=2，BF=2，即可得出BE=2-2，借助（2）得出的结论；当点E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论．

解：（1）BE=AF，理由如下：
在Rt△ABC中，AB=AC，
∵D是BC的中点，
∴AD=BC=BD，AD⊥BC，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB=AD，
∵正方形CDEF，
∴DE=EF，
当点E恰好与点A重合，
∴AB=AD=AF，即BE=AF，
故答案为：BE=AF；

（2）①不变化，证明如下：

证明：，．

，，．

四边形是正方形，

，

，

，

．

又，

，

；

②当点E在线段AF上时，如图2，
由（1）知，CF=EF=CD=2，
在Rt△BCF中，CF=2，BC=4，根据勾股定理得，BF=2，
∴BE=BF-EF=2-2，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=2-2，
当点E在线段BF的延长线上时，如图3，
在Rt△ABC中，AB=AC=4，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴sin∠ABC=

∵∠FCE=∠ACB=45°，
∴∠FCB+∠ACB=∠FCB+∠FCE，
∴∠FCA=∠ECB，
∴△ACF∽△BCE，

，

∴BE=AF，
由（1）知，CF=EF=CD=2，
在Rt△BCF中，CF=2，BC=4，
根据勾股定理得，BF=2，
∴BE=BF+EF=2+2，
由（2）知，BE=AF，
∴AF=2+2．
故当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，线段AF的长为2-2或2+2．