Question

【题目】已知菱形的边长为，=120°，对角线相交于点，以点为坐标原点，分别以所在直线为轴、轴，建立如图所示的直角坐标系，以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，再以为对角线作菱形菱形，…，按此规律继续做下去，设菱形的面积为，菱形的面积为，…，菱形的面积为，则_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

先根据菱形的性质及锐角三角函数的定义求出OA1，OB1的长，从而可求出S1，根据相似及锐角三角函数的定义可求得OA2，OB2的长，从而可得出S2，…，找出规律即可得出结论．

解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=120°，

∴∠A1B1O=60°，∠A1OC1=90°，
∴OA1=A1B1sin60°=2×=，OB1=A1B1cos60°=2×1，

∴A1C1=2OA1=2，B1D1=2OB1=2，

∴S1=×A1C1×B1D1=．
∵菱形A1B1C1D1∽菱形B2C1D2A1∽菱形，

∴∠A2B2C2=∠B2A1D2=∠A1B1C1=120°，

∴OB2=，

∴OA2=OB2×tan60°=3，B2D2=2OB2=6，

∴A2C2=2OA2=6，

∴S2=×A2C2×B2D2==2×9，

同理可得，

S3=×A3C3×B3D3=，

S4=×A4C4×B4D4=，

…
∴Sn=．

故答案为：．