Question

14．已知x₁，x₂是方程x²-（k-2）x+k²+3k+5=0的实数根（x₁，x₂可相等）
（1）证明方程的两根都小于0；
（2）当实数k取何值时x₁²+x₂²最大？并求出最大值．

Answer 1

分析 （1）根据判别式的意义得到△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，解此不等式得到-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，再由根与系数的关系得x₁+x₂=k-2，x₁x₂=k²+3k+5，利用k的取值范围有x₁+x₂=k-2＜0，x₁x₂=k²+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；
（2）利用完全平方公式得到x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-（k+5）²+19，然后根据二次函数的最值问题求解．

解答 （1）证明：∵△=（k-2）²-4（k²+3k+5）≥0，
∴-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
∵x₁+x₂=k-2，x₁x₂=k²+3k+5，
∴x₁+x₂=k-2＜0，x₁x₂=k²+3k+5＞0，
∴方程的两根都小于0；
（2）解：x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（k-2）²-2（k²+3k+5）=-k²-10k-6=-（k+5）²+19，
∵-4≤k≤-$\frac{4}{3}$，
∴k=-4时，x₁²+x₂²有最大值，最大值为-（-4+5）²+19=18．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式．