Question

【题目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC= ，点O为Rt△ABC内一点，连接AO、BO、CO，且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，则OA+OB+OC= ．

Answer 1

【答案】
【解析】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC= ， ∴tan∠ABC= = = ，
∴∠ABC=30°，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴∠A′BC=∠ABC+60°=30°+60°=90°，
∴A′B⊥CB，
∵∠ACB=90°，AC=1，∠ABC=30°，
∴AB=2AC=2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B=AB=2，BO=BO′，A′O′=AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO=OO′，∠BOO′=∠BO′O=60°，
∵∠AOC=∠COB=∠BOA=120°，
∴∠COB+∠BOO′=∠BO′A′+∠BO′O=120°+60°=180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C= = ，
∴OA+OB+OC=A′O′+OO′+OC=A′C= ．
所以答案是： ．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用等边三角形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°．