题目内容

【题目】如图,AB是⊙O的直径,C、G是⊙O上两点,且AC=CG,过点C的直线CD⊥BG于点D,交BA的延长线于点E,连接BC,交OD于点F.

(1)求证:CD是⊙O的切线.
(2)若,求∠E的度数.
(3)连接AD,在2的条件下,若CD=,求AD的长.

【答案】
(1)

【解答】证明:如图1,连接OC,AC,CG,

∵AC=CG,

∴∠ABC=∠CBG,

∵OC=OB,

∴∠OCB=∠OBC,

∴∠OCB=∠CBG,

∴OC∥BG,

∵CD⊥BG,

∴OC⊥CD,

∴CD是⊙O的切线;


(2)

解:∵OC∥BD,

∴△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,

∵OA=OB,

∴AE=OA=OB,

∴OC=OE,

∵∠ECO=90°,

∴∠E=30°;


(3)

解:如图2,过A作AH⊥DE于H,

∵∠E=30°

∴∠EBD=60°,

∴∠CBD=EBD=30°,

∵CD=

∴BD=3,DE=,BE=6,

∴AE=BE=2,

∴AH=1,

∴EH=

∴DH=

在Rt△DAH中,AD=.


【解析】(1)如图1,连接OC,AC,CG,由圆周角定理得到∠ABC=∠CBG,根据同圆的半径相等得到OC=OB,于是得到∠OCB=∠OBC,等量代换得到∠OCB=∠CBG,根据平行线的判定得到OC∥BG,即可得到结论;
(2)由OC∥BD,得到△OCF∽△BDF,△EOC∽△EBD,得到,根据直角三角形的性质即可得到结论;
(3)如图2,过A作AH⊥DE于H,解直角三角形得到BD=3,DE=3,BE=6,在Rt△DAH中,AD=

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