Question

7．已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离为1．

Answer 1

分析 根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，由BC-BF-CG求出FG的长，求出等边三角形NFG的高，即可确定出点P到BC的最小距离．

解答 解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，
当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；
根据题意得：BC=AB=$\frac{4}{sin60°}$=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$，△NFG与△MDE都为等边三角形，
∴DB=BF=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，CE=CG=$\frac{2}{sin60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴FG=BC-BF-CG=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴NH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$FG=1，即点P到BC的最小距离是1；
故答案为：1．

点评 此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键．