Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，E、F分别是AC、BC边上的点，且CE=

1

3

AC，BF=

1

3

BC．求证：
（1）

AC

BC

=

CD

BD

；
（2）∠BDC=∠FDB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）证相关线段所在的三角形相似即可，即证Rt△ADC∽Rt△CDB；
（2）易证得CE：BF=AC：BC，联立（1）的结论，即可得出CE：BF=CD：BD，由此易证得△CED∽△BFD，即可得出∠CDE=∠BDF．

解答：证明：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠CDB=∠ACB=90°，
又∵∠B=∠B，
∴△ACB∽△CDB，
∴

AC

BC

=

CD

BD

；
（2）∵CE=

1

3

AC，BF=

1

3

BC，
∴CE：BF=AC：BC，
∴由（1）的结论得：CE：BF=CD：BD，
∵∠B+∠BCD=∠ECD+∠BCD=90°，
∴∠B=∠ECD，
∴△ECD∽△FBD．
∴∠EDC=∠FDB．

点评：此题考查的是相似三角形的判定和性质；识别两三角形相似，除了要掌握定义外，还要注意正确找出两三角形的对应边、对应角，可利用数形结合思想根据图形提供的数据计算对应角的度数、对应边的比．