Question

9．如图，己知平面直角坐标系中两点A（1，2）和C（5，0），且OA∥BC，AC∥OB，AC∥OB．
（1）求证：四边形OBCA为矩形；
（2）直接写出B点坐标．

Answer 1

分析 （1）由已知条件证出四边形OBCA是平行四边形，作AM⊥OC于M，由勾股定理求出OA、AC，由勾股定理的逆定理证出∠OAC=90°，即可得出四边形OBCA是矩形；
（2）作BN⊥OC于N，由矩形的性质得出OA∥BC，OA=BC，证出∠AOC=∠BCO，由AAS证明△BCN≌△AOM，得出BN=AM=2，CN=OM=1，求出ON=OC-CN=4，即可得出点B坐标．

解答 （1）证明：∵OA∥BC，AC∥OB，
∴四边形OBCA是平行四边形，
作AM⊥OC于M，如图1所示：
∵A（1，2），C（5，0），
∴OM=1，AM=2，OC=5，
∴CM=OC=OM=4，
∴OA=$\sqrt{O{M}^{2}+A{M}^{2}}$=$\sqrt{5}$，AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵OA²+AC²=25=OC²，
∴△AOC是直角三角形，∠OAC=90°，
∴四边形OBCA是矩形；
（2）解：作BN⊥OC于N，如图2所示：
则∠BNC=∠AMO=90°，
∵四边形OBCA是矩形，
∴OA∥BC，OA=BC，
∴∠AOC=∠BCO，
在△BCN和△AOM中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BNC=∠AMO}&{\;}\\{∠AOC=∠BCO}&{\;}\\{BC=AO}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCN≌△AOM（AAS），
∴BN=AM=2，CN=OM=1，
∴ON=OC-CN=4，
∴点B坐标为（4，-2）．

点评 本题考查了平行四边形的判定、矩形的判定与性质、坐标与图形性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质；证明三角形是直角三角形和三角形全等是解决问题的关键．