Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，DB平分∠ADC，过点A作AE∥BD，交CD的延长线于点E，且∠C=2∠E．若∠E=30°，EC=12，求梯形ABCD的面积．

Answer 1

考点：等腰梯形的性质

专题：

分析：根据两直线平行，同位角相等可得∠BDC=∠E=30°，再根据角平分线的定义可得∠ADC=2∠BDC，然后求出∠C=60°，∠CBD=90°，再求出AB=AD，判断出四边形AEDB是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AB=DE，再根据EC的长度求出CD，然后解直角三角形求出CD边上的高，再根据梯形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：∵AE∥BD，
∴∠BDC=∠E=30°，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADC=2∠BDC=2×30°=60°，
在等腰梯形ABCD中，∠C=∠ADC=60°，
∴∠CBD=90°，
∴CD=2BC，
∵DB平分∠ADC，
∴∠ADB=∠CDB，
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∵AB∥DC，AE∥BD，
∴四边形AEDB是平行四边形，
∴AB=DE，
∴AB=DE=AD=BC，
∵EC=12，
∴DE+BC=DE+2DE=3DE=12，
解得DE=4，
BC=2DE=2×4=8，
点B到CD的距离为=BC×

3

2

=4×

3

2

=2

3

，
所以，梯形ABCD的面积=

1

2

×（4+8）×2

3

=12

3

．

点评：本题考查了等腰梯形的性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解直角三角形，关键在于求出ED、DC的长度．