Question

12．已知一个正三角形和一个正六边形的面积相等，求这两个正多边形的边长的比．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分别设出边长并表示出面积后即可利用面积相等得到答案．

解答 解：设正三角形的边长为a，则正六边形的边长为b；
过A作AD⊥BC于D，则∠BAD=30°，

AD=AB•cos30°=a•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AD=$\frac{1}{2}$×a×$\frac{\sqrt{3}}{2}$a=$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²；
连接OA、OB，过O作OD⊥AB；

∵∠AOB=$\frac{360°}{6}$=60°，
∴∠AOD=30°，
OD=$\frac{AD}{tan30°}$=$\frac{\frac{b}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$b，
∴S_△OAB=$\frac{1}{2}$×b×$\frac{\sqrt{3}}{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²，
∴S_六边形=6S_△OAB=6×$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$b²，
∵S_△ABC=S_六边形
∴$\frac{\sqrt{3}}{4}$b²=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$b²，
解得：a：b=$\sqrt{6}$：1．
这两个正多边形的边长的比为$\sqrt{6}$：1．

点评 本题考查了正三角形及正六边形的性质，解答此题的关键是根据题意画出图形，结合正多边形的性质解答