Question

如图，已知AD是△ABC的中线，分别以AB、AC为边向外作正方形，得正方形ABHG和正方形ACEF，求证：
（1）GF=2AD；
（2）GF⊥AD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：（1）延长AD至M，使DM=AD，连接BM，根据三角形的中线的定义可得BD=CD，然后利用“边角边”证明△BDM和△CDA全等，根据全等三角形对应边相等可得BM=AC，全等三角形对应角相等可得∠DBM=∠DCA，再根据内错角相等，两直线平行求出AC∥BM，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠ABM+∠BAC=180°，然后求出∠ABM=∠GAF，再利用“边角边”证明△ABM和△GAF全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=AM；
（2）延长DA与GF相交于点N，根据全等三角形对应角相等可得∠BAM=∠AGF，再求出∠NAG+∠AGN=90°，然后证明即可．

解答：证明：（1）如图，延长AD至M，使DM=AD，连接BM，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，
在△BDM和△CDA中，

BD=CD ∠BDM=∠CDA AD=DM

，
∴△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM=AC，∠DBM=∠DCA，
∴AC∥BM，
∴∠ABM+∠BAC=180°，
∵∠BAG=∠CAF=90°，
∴∠GAF+∠BAC=180°，
∴∠ABM=∠GAF，
在△ABM和△GAF中，

AB=AG ∠ABM=∠GAF AC=AF

，
∴△ABM≌△GAF（SAS），
∴GF=AM，
∴GF=2AD；

（2）延长DA与GF相交于点N，
∵△ABM≌△GAF，
∴∠BAM=∠AGF，
∵∠BAM+∠GAN=180°-90°=90°，
∴∠NAG+∠AGN=90°，
∴AN⊥GF，
故GF⊥AD．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和直角三角形．