Question

如图，抛物线的对称轴是x=-1，与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点 B（0，3）．动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．
（1）求抛物线对应的函数关系式；
（2）当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；
（3）△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；
（3）△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．

解答：解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）²+k，
∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，
∴

4a+k=0 a+k=3

，
解得：

a=-1 k=4

，
∴抛物线的解析式为：y=-（x+1）²+4；

（2）∵四边形OMPQ为矩形，
∴OM=PQ，即3t=-（t+1）²+4，
整理得：t²+5t-3=0，
解得t=

-5± 37

2

，
由于t=

-5- 37

2

＜0，故舍去，
∴当t=

37 -5

2

秒时，四边形OMPQ为矩形；

（3）在Rt△AOB中，
∵OA=1，OB=3，
∴tan∠A=

OB

OA

=3，
若△AON为等腰三角形，有三种情况：
（I）若ON=AN，如答图1所示：
则Q为OA中点，OQ=

1

2

OA=

1

2

，
∴t=

1

2

；
（II）若ON=OA，如答图2所示：
设AQ=x，则NQ=AQ•tanA=3x，OQ=OA-AQ=1-x，
在Rt△NOQ中，由勾股定理得：OQ²+NQ²=ON²，
即（1-x）²+（3x）²=1²，
解得x₁=

1

5

，x₂=0（舍去），
∴x=

1

5

，OD=1-x=

4

5

，
∴t=

4

5

；
（III）若OA=AN，如答图3所示：
设AD=x，则NQ=AQ•tanA=3x，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：NQ²+AQ²=AN²，
即（x）²+（3x）²=1²，
解得x₁=

10

10

，x₂=-

10

10

（舍去），
∴OQ=1-x=1-

10

10

，
∴t=1-

10

10

．
综上所述，当t为

1

2

秒、

4

5

秒，（1-

10

10

）秒时，△AON为等腰三角形．

点评：本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）（3）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．