Question

5．如图，AB是⊙O的直径，弦BC=8，∠BOC=60°，OE⊥AC，垂足为E．
（1）求OE的长；
（2）求劣弧AC的长．

Answer 1

分析 （1）由垂径定理知，由E是AC的中点，点O是AB的中点，则OB是△ABC的BC边对的中位线，所以OE=$\frac{1}{2}$BC；
（2）由圆周角定理得∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，根据平角的意义求得∠AOC的度数，再利用弧长公式求得弧AC的长．

解答 解：（1）∵OE⊥AC，垂足为E，AE=EC，
∵AO=B0，
∴OE=$\frac{1}{2}$BC=4；

（2）∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角，
∴∠A=$\frac{1}{2}$∠BOC=30°，
在Rt△AOE中，sinA=$\frac{OE}{OA}$，即OA=$\frac{OE}{sin∠A}$=$\frac{4}{sin30°}$=8，
∵∠AOC=180°-60°=120°，
∴弧AC的长=$\frac{120π×{8}^{2}}{360}$=$\frac{64}{3}$π．

点评 本题利用了垂径定理，三角形中位线的性质，圆周角定理，正弦的概念，弧长公式求解．