Question

13．如图，在边长为1的正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E是AB延长线上一点，联结CE，AF⊥CE垂直平分EC，垂足为F，AF交BD、BC于点H、G，求证：CG=2OH．

Answer 1

分析 取CG的中点P，连接OP，利用正方形的性质和已知条件证明OH=GP即可．

解答 证明：如图，取CG的中点P，连接OP．

∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，∠BAC=∠ACB=45，AC⊥BD，∵CP=PG，
∴OP∥AG，∠AOH=90°，
∵AF⊥CE垂直平分EC，
∴AC=AE，
∴∠FAC=∠FAB=22.5°，
∴∠BHG=∠AHO=90°-22.5°=67.5°，
∵∠AGB=∠GAC+∠ACG=67.5°，
∴∠BHG=∠BGH，
∴BH=BG，
∵GH∥OP，
∴∠BHG=∠BOP，∠BGH=∠BPO，
∴∠BOP=∠BPO，
∴BO=BP，
∴OH=PG，
∴CG=2OH．

点评 本题考查正方形的性质、线段的垂直平分线的性质、三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造安吉县中位线，利用等腰三角形的判定和性质解决问题，属于中考常考题型．