Question

2．如图，边长为2的等边△ABC中，D、E分别为AC、BC上的点（D、E与顶点不重合），∠BDE=60°．
（1）求证：△ABD∽△CDE；
（2）设CD=x，BE=y，求y与x的函数关系式，并求y的最小值．

Answer 1

分析 （1）易证∠ABD=∠CDE，即可证明△ABD∽△CDE；
（2）根据△ABD∽△CDE；，可得$\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{CD}$，即可求得CE的值，即可解题．

解答 （1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠C=60°，
∵∠BDE=60°，
∴∠ADB+∠CDE=120°，
∵∠ABD+∠ADB=120°，
∴∠ABD=∠CDE，
∵∠A=∠C，
∴△ABD∽△CDE
（2）解：∵△ABD∽△CDE，
∴$\frac{AD}{CE}=\frac{AB}{CD}$，
∴CE=$\frac{x（4-x）}{4}$=-$\frac{1}{4}$x²+x，
∴y=4-CE=$\frac{1}{4}$x²-x+4，
∵y=$\frac{1}{4}$（x-2）²+3，
∴y的最小值为3．

点评 本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形对应边比例相等的性质，本题中求证△BDA∽△DEC是解题的关键．