如图①.在△ABC中.∠ACB=90°.∠B=30°.AC=1.D为AB的中点.EF为△ACD的中位线.四边形EFGH为△ACD的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD的边上)．(1)计算矩形EFGH的面积,(2)将矩形EFGH沿AB向右平移.F落在BC上时停止移动．在平移过程中.当矩形与△CBD重叠部分的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{16}$时.求矩形平移� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，D为AB的中点，EF为△ACD的中位线，四边形EFGH为△ACD的内接矩形（矩形的四个顶点均在△ACD的边上）．
（1）计算矩形EFGH的面积；
（2）将矩形EFGH沿AB向右平移，F落在BC上时停止移动．在平移过程中，当矩形与△CBD重叠部分的面积为$\frac{{\sqrt{3}}}{16}$时，求矩形平移的距离；
（3）如图③，将（2）中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形E₁F₁G₁H₁，将矩形E₁F₁G₁H₁绕G₁点按顺时针方向旋转，当H₁落在CD上时停止转动，旋转后的矩形记为矩形E₂F₂G₁H₂，设旋转角为α，求cosα的值．

分析（1）根据已知，由直角三角形的性质可知AB=2，从而求得AD，CD，利用中位线的性质可得EF，DF，利用三角函数可得GF，由矩形的面积公式可得结果；
（2）首先利用分类讨论的思想，分析当矩形与△CBD重叠部分为三角形时（$0＜x≤\frac{1}{4}$），利用三角函数和三角形的面积公式可得结果；当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时（$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$），列出方程解得x；
（3）作H₂Q⊥AB于Q，设DQ=m，则${H_2}Q=\sqrt{3}m$，又$D{G_1}=\frac{1}{4}$，${H_2}{G_1}=\frac{1}{2}$，利用勾股定理可得m，在Rt△QH₂G₁中，利用三角函数解得cosα．

解答解：（1）如图①，在△ABC中，
∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，
∴AB=2，
又∵D是AB的中点，
∴AD=1，$CD=\frac{1}{2}AB=1$，
又∵EF是△ACD的中位线，
∴$EF=DF=\frac{1}{2}$，
在△ACD中，AD=CD，∠A=60°，
∴∠ADC=60°，
在△FGD中，GF=DF•sin60°=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$，
∴矩形EFGH的面积$S=EF•GF=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{8}$；

（2）如图②，设矩形移动的距离为x，则$0＜x≤\frac{1}{2}$，
当矩形与△CBD重叠部分为三角形时，
则$0＜x≤\frac{1}{4}$，$S=\frac{1}{2}x•\sqrt{3}x=\frac{{\sqrt{3}}}{16}$，
∴$x=\frac{{\sqrt{2}}}{4}＞\frac{1}{4}$．（舍去），
当矩形与△CBD重叠部分为直角梯形时，则$\frac{1}{4}＜x≤\frac{1}{2}$，
重叠部分的面积S=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}x-\frac{1}{2}×\frac{1}{4}×\frac{{\sqrt{3}}}{4}=\frac{{\sqrt{3}}}{16}$，
∴$x=\frac{3}{8}$，
即矩形移动的距离为$\frac{3}{8}$时，矩形与△CBD重叠部分的面积是$\frac{{\sqrt{3}}}{16}$；

（3）如图③，作H₂Q⊥AB于Q，
设DQ=m，则${H_2}Q=\sqrt{3}m$，又$D{G_1}=\frac{1}{4}$，${H_2}{G_1}=\frac{1}{2}$．
在Rt△H₂QG₁中，${（\sqrt{3}m）^2}+{（m+\frac{1}{4}）^2}={（\frac{1}{2}）^2}$，
解之得$m=\frac{{-1±\sqrt{13}}}{16}$（负的舍去）．
∴$cosα=\frac{{Q{G_1}}}{{{H_2}{G_1}}}=\frac{{\frac{{-1+\sqrt{13}}}{16}+\frac{1}{4}}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{{3+\sqrt{13}}}{8}$．