Question

如图，抛物线y=ax²-2ax+c的图象与x轴交于A、B（3，0），与y轴交于C（0，-

3

2

）
（1）求二次函数解析式；
（2）P为第二象限抛物线上一点，且∠PBA=∠OCB，点E在线段CB上，过E作x轴的垂线交PB于F，当△AEF面积最大时，求点E坐标；
（3）设直线l：y=kx+b交y轴于M，交抛物线于N，若A、M、N、B为顶点的四边形为平行四边形，求直线l解析式．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：代数几何综合题,压轴题

分析：（1）把点B、C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函数解析式解答；
（2）设PB与y轴相交于点D，根据点B、C的坐标求出OC、OB的长度，然后利用相似三角形对应边成比例求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再利用待定系数法求直线解析式求出直线PB的解析式与直线BC的解析式，设点E的横坐标为x，根据两直线的解析式表示出E、F的坐标，再根据抛物线解析式求出点A的坐标，然后表示出EF的长度与点A到EF的距离，然后根据三角形的面积公式列式整理，再根据二次函数的最值问题解答得到x的值，便不难求出点E的坐标；
（3）先根据AB的坐标求出AB的长度，再分①AB是平行四边形的边时，直线l与x轴平行，根据平行四边形对边相等求出MN的长度，然后分点N在第一象限与第二象限得到点N的横坐标，再代入抛物线解析式计算求出纵坐标，从而得解；②AB是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分求出平行四边形的中心坐标是（1，0），然后求出点N的横坐标是2，代入抛物线解析式求出点N的纵坐标，再利用待定系数法求直线解析式计算即可得解．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c的图象经过B（3，0），C（0，-

3

2

），
∴

9a-6a+c=0 c=- 3 2

，
解得

a= 1 2 c=- 3 2

，
所以，抛物线解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）如图，设直线PB与y轴相交于点D，
∵B（3，0），C（0，-

3

2

），
∴OC=

3

2

，OB=3，
∵∠PBA=∠OCB，∠BOC=∠BOD=90°，
∴△BOC∽△DOB，
∴

OD

OB

=

OB

OC

，
即

OD

3

=

3

3 2

，
解得OD=6，
∴点D的坐标为（0，6），
设直线PB的解析式为y=ex+f，直线BC的解析式为y=mx+n，
则

3e+f=0 f=6

，

3m+n=0 n=- 3 2

，
解得

e=-2 f=6

，

m= 1 2 n=- 3 2

，
所以，直线PB的解析式为y=-2x+6，直线BC的解析式为y=

1

2

x-

3

2

，
令y=0，则

1

2

x²-x-

3

2

=0，
解得x₁=3，x₂=-1，
所以，点A的坐标为（-1，0），
设点E的横坐标为x，则点E（x，

1

2

x-

3

2

），F（x，-2x+6），
EF=-2x+6-

1

2

x+

3

2

=-

5

2

x+

15

2

，
点A到EF的距离为x-（-1）=x+1，
S_△AEF=

1

2

×（-

5

2

x+

15

2

）×（x+1），
=-

5

4

（x-3）（x+1），
=-

5

4

（x²-2x-3），
=-

5

4

（x-1）²+5，
所以，当x=1时，△AEF面积最大，
此时

1

2

×1-

3

2

=-1，
所以，点E的坐标为（1，-1）；

（3）∵A（-1，0），B（3，0），
∴AB=3-（-1）=3+1=4，
①AB是平行四边形的边时，直线l与x轴平行，
此时k=0，MN=AB=4，
所以，点N的横坐标为4或-4，
当点N的横坐标为4时，y=

1

2

×4²-4-

3

2

=

5

2

，
此时，直线l的解析式为y=

5

2

，
当点N的横坐标为-4时，y=

1

2

×（-4）²-（-4）-

3

2

=

21

2

，
此时，直线l的解析式为y=

21

2

，
②AB是平行四边形的对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，
∵A（-1，0），B（3，0），
∴平行四边形的中心坐标为（1，0），
∵点M在y轴上，
∴点N的横坐标为2，
此时，y=

1

2

×2²-2-

3

2

=-

3

2

，
∴点N的坐标为（2，-

3

2

），
∴

k+b=0 2k+b=- 3 2

，
解得

k=- 3 2 b= 3 2

，
所以，直线l的解析式为y=-

3

2

x+

3

2

，
综上所述，直线l的解析式为：y=

5

2

或y=

21

2

或y=-

3

2

x+

3

2

．

点评：本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，相似三角形对应边成比例，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分的性质，（3）要注意AB为平行四边形的边时，直线l与x轴平行的情况的讨论．