Question

如图，在平面直角坐标系中，点C（3，0）在x轴的正半轴上，点B（0，3

2

+3）在y轴的正半轴上，射线CD⊥BC交y轴于点D，点A在射线CD上，且AC=BC，连接AB．
（1）求点A的坐标；
（2）在y轴上有一动点E以每秒

2

个单位的速度从点B出发沿射线BO运动，设ADE的面积为S，点E的运动时间为t，求S与t的函数关系式；
（3）请问：此时射线BD是否平分∠ABC？若是，请证明；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）作AM⊥x轴于M，根据AAS即可证得△AMC≌△COB得出AM=OC，CM=OB，进而得出A的坐标；
（2）根据A、C的坐标求得直线AC的解析式，从而求得D的坐标，得出ED的长，然后根据三角形的面积公式，即可得出S与t的关系式；
（3）根据A、B的坐标，求得直线AB的解析式，从而求得直线AB与x轴的交点E的坐标，得出OE=OC，根据垂直平分线上的点，到线段的两个端点的距离相等，求得三角形BEC是等腰三角形，进而求得BD是∠ABC的平分线．

解答：（1）解：作AM⊥x轴于M，
∵点C（3，0），B（0，3

2

+3），
∴OC=3，OB=3

2

+3，
∵∠BCO+∠OCD=90°，∠OBC+∠BCO=90°，
∴∠MCA=∠OBC，
在△AMC与△COB中，

∠MCA=∠OBC ∠AMC=∠BOC=90° AC=BC

，
∴△AMC≌△COB（AAS）
∴AM=OC=23，CM=OB=3

2

+3，
∴A（-3

2

，-3），

（2）解：∵A（-3

2

，-3），C（3，0），B（0，3

2

+3），
∴直线AC为：y=（

2

-1）x+3-3

2

，
∴D（0，3-3

2

），
∴BD=3

2

+3-（3-3

2

）=6

2

，
∵BE=2t，
∴DE=6

2

-2t，
∴S=

1

2

DE•3

2

=

1

2

（6

2

-2t）×3

2

=18-3

2

t，
即S=18-3

2

t；

（3）证明：∵A（-3

2

，-3），C（3，0），B（0，3

2

+3），
∴直线AB为：y=（

2

+1）x+3

2

+3，
令y=0，x=-3，
∴E（-3，0），
∵C（3，0），
∴OE=OC，
∵OB⊥CE，
∴BE=CB，
∴△BEC是等腰三角形，
∴BD平分∠ABC．

点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，直线和x轴的交点，以及等腰三角形的判定和性质，本题的关键是直线与坐标轴的交点坐标．