Question

16．将矩形纸片ABCD（AD＞AB）折叠，使点C折叠后的对应点G恰好与A点重合，且折痕分别与边BC、AD相交，设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H，折痕分别与边BC、AD相交于点E、F．
（1）若AB=3，BE=4，求矩形的边BC的长度；
（2）判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由翻折可知EC=AE，求出AE即可解决问题．
（2）结论：四边形CEGF是菱形．首先证明GF=GE，再证明四边形CEGF是平行四边形即可．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=90°，
∵AB=3，BE=4，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
由翻折可知EC=AE=5，
∴BC=BE+CE=9．

（2）结论：四边形CEGF是菱形．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC，
∵∠GEF=∠FEC，
∴∠GFE=∠FEG，
∴GF=GE，
∵图形翻折后EC与GE完全重合，
∴EC=GE，
∴GF=EC，∵GF∥EC
∴四边形CEGF是平行四边形，∵GF=GE，
∴四边形CEGF是菱形．

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用翻折不变性解决问题，属于中考常考题型．