Question

7．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点，例如，点（1，1），（-2，-2），（ $\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$  ），…，都是梦之点，显然梦之点有无数个．
（1）若点P（2，b）是反比例函数y=$\frac{n}{x}$（n为常数，n≠0）的图象上的梦之点，求这个反比例函数解析式；
（2）⊙O的半径是$\sqrt{2}$，
①求出⊙O上的所有梦之点的坐标；
②已知点 M（m，3），点Q是（1）中反比例函数y=$\frac{n}{x}$图象上异于点P的梦之点，过点Q 的直线l与y轴交于点 A，tan∠OAQ=1．若在⊙O上存在一点N，使得直线MN∥l或MN⊥l，求出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由梦之点的定义可求得P点坐标，再利用待定系数法可求得反比例函数解析式；
（2）①设⊙O上的梦之点坐标为（a，a），由圆的半径，根据勾股定理可得到关于a的方程，可求得a的值，则可得梦之点的坐标；
②分两种情况进行讨论：当MN为y=-x+b时，m=b-3，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第三象限时，b取得最小值，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第一象限时，b取得最大值，据此可得m的取值范围为-5≤m≤-1；当直线MN为y=x+b时，同理可得，m的取值范围为1≤m≤5．

解答 解：（1）∵P（2，b）是梦之点，
∴b=2，
∴P（2，2），
将P（2，2）代入y=$\frac{n}{x}$中，得n=4，
∴反比例函数解析式是y=$\frac{4}{x}$；

（2）①∵⊙O的半径是$\sqrt{2}$，
设⊙O上梦之点坐标是（a，a），
∴a²+a²=（$\sqrt{2}$）²，
∴a²=1，
a=1或a=-1，
∴⊙O上所有梦之点坐标是（1，1）或（-1，-1）；

②由（1）知，异于点P的梦之点是（-2，-2），
∵tan∠OAQ=1，
∴∠OAQ═45°，
∵MN∥l或MN⊥l，
∴直线MN为y=-x+b或y=x+b，
当MN为y=-x+b时，m=b-3，
由图可知，当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第三象限时，b取得最小值，
此时MN记为M₁N₁，其中N₁为切点，T₁为直线与y轴的交点．
∵△OT₁N₁为等要直角三角形，
∴ON₁=$\sqrt{2}$，
∴OT₁=2，
∴b的最小值是-2，
∴m的最小值是-5，
当直线MN平移至与⊙O相切时，且切点在第一象限时，b取得最大值，
此时MN记为M₂N₂，
其中 N₂为切点，T₂为直线M₂N₂与y轴的交点．
同理可得，b的最大值为2，m的最大值为-1．
∴m的取值范围为-5≤m≤-1；
当直线MN为y=x+b时，同理可得，m的取值范围为1≤m≤5，
综上所述，m的取值范围为-5≤m≤-1或1≤m≤5．

点评 本题属于反比例函数综合题，主要考查了反比例函数的图象与性质，等腰直角三角形的性质，切线的性质，待定系数法求反比例函数解析式的综合应用，解决问题的关键是依据根据MN∥l或MN⊥l，可得直线MN为y=-x+b或y=x+b，画出图形进行分析，解题时注意分类思想的运用．