Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
（1）若∠A=80°，求∠BPC的度数；
（2）设∠A=n°（n为已知数），求∠BPC的度数；
（3）当∠A为多少度时，∠BPC=3∠A？

Answer 1

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：计算题

分析：（1）根据角平分线的定义得到∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，再利用三角形内角和定理得∠BPC=180°-∠1-∠2，∠ABC+∠ACB=180°-∠A，则∠BPC=180°-

1

2

（180°-∠A），整理得到∠BPC=90°+

1

2

∠A，然后把∠A=80°代入计算即可；
（2）把∠A=n°代入（1）中的结论即可；
（3）由（1）的结论得∠BPC=90°+

1

2

∠A，加上∠BPC=3∠A，则3∠A=90°+

1

2

∠A，然后解方程即可．

解答：解：（1）∵∠ABC，∠ACB的平分线相交于点P，
∴∠1=

1

2

∠ABC，∠2=

1

2

∠ACB，
∵∠BPC=180°-∠1-∠2，
∴∠BPC=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠BPC=180°-

1

2

（180°-∠A）
=90°+

1

2

∠A
当∠A=80°时，∠BPC=90°+

1

2

×80°=130°；
（2）当∠A=n°时，∠BPC=90°+

1

2

n°；
（3）∵∠BPC=90°+

1

2

∠A，
而∠BPC=3∠A，
∴3∠A=90°+

1

2

∠A，
∴∠A=36°．

点评：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了角平分线定义和角的计算；关键得出∠BPC与∠A的数量关系．