Question

17．如图1，定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形，如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠E．

Answer 1

分析 根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明．

解答 证明：∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD与△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠EAB=∠EBA}\\{AB=BA}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ABD=∠BAC，∠ADB=∠BCA，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在等腰△ABE中，∠EAB=∠EBA=（180°-∠E）÷2=90°-$\frac{1}{2}$∠E，
∴∠ABD=90°-∠EAB=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠E）=$\frac{1}{2}$∠E，
∴∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠E．

点评 考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．