Question

16．如图，在△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是4.5．

Answer 1

分析 设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP₁⊥BC垂足为P₁交⊙O于Q₁，此时垂线段OP₁最短，P₁Q₁最小值为OP₁-OQ₁，求出OP₁，如图当Q₂在AB边上时，P2与B重合时，P₂Q₂最大值=2.5+1.5=4，由此不难解决问题．

解答 解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP₁⊥BC垂足为P₁交⊙O于Q₁，
此时垂线段OP₁最短，P₁Q₁最小值为OP₁-OQ₁，
∵AB=5，AC=4，BC=3，
∴AB²=AC²+BC²，
∴∠C=90°，
∵∠OP₁B=90°，
∴OP₁∥AC
∵AO=OB，
∴P₁C=P₁B，
∴OP₁=$\frac{1}{2}$AC=2，
∴P₁Q₁最小值为OP₁-OQ₁=0.5，
如图，当Q₂在AB边上时，P2与B重合时，P₂Q₂经过圆心，经过圆心的弦最长，
P₂Q₂最大值=2.5+1.5=4，
∴PQ长的最大值与最小值的和是4.5．
故答案为：4.5．

点评 本题考查切线的性质、三角形中位线定理等知识，解题的关键是正确找到点PQ取得最大值、最小值时的位置，属于中考常考题型．