Question

19．如图，在矩形ABCD中，将△ADE沿AE折叠，点D刚好落在对角线AC上的F点．
（1）若AB=8，BC=6，求DE的长；
（2）若AE=EC，求证：AC=2BC．

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是矩形，得到AD=BC=6，CD=AB=8，∠D=∠B=90°，根据勾股定理得到AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=10，根据折叠的性质得到AF=AD=6，DE=EF，根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据折叠的性质得到AF=AD，∠AFE=∠D=90°，根据等腰三角形的性质得到AF=CF，于是得到结论．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=6，CD=AB=8，∠D=∠B=90°，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=10，
∵将△ADE沿AE折叠，点D刚好落在对角线AC上的F点，
∴AF=AD=6，DE=EF，
∴CF=4，CE=8-EF，
∵EF²+CF²=CE²，即EF²+4²=（8-EF）²，
∴EF=3，
∴DE=EF=3；
（2）∵将△ADE沿AE折叠，点D刚好落在对角线AC上的F点，
∴AF=AD，∠AFE=∠D=90°，
∴EF⊥AC，
∵AE=CE，
∴AF=CF，
∴AF=CF=AD=BC，
∴AC=2BC．

点评 本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后边相等．