Question

14．如图，由一副三角板组成的四边形ABCD中，∠B=∠ADC=90°，∠BAC=30°，把△ABC沿AC折叠，点B落在点E处，若两个三角形重叠部分的面积为2$\sqrt{3}$+2，则DE=$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 过D点作DE⊥AC于E，过O点作OF⊥AC于F，过E作EH⊥DE于H，连接EB交AC于G．

解答 解：过D点作DE⊥AC于E，过O点作OF⊥AC于F，过E作EH⊥DE于H，连接EB交AC于G．

∵AE=AB，EC=BC，
∴BE⊥AC，
∵∠OFC=90°，∠OCF=45°，
∴∠OCF=∠FOC=45°，
∴OF=FC，设OF=FC=x，则AF=$\sqrt{3}$x，
∴S_△AOC=2$\sqrt{3}$+2，
∴$\frac{1}{2}$•（$\sqrt{3}$x+x）•x=2$\sqrt{3}$+2，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AC=2+2$\sqrt{3}$，EC=$\frac{1}{2}$AC=1+$\sqrt{3}$，AE=$\sqrt{3}$EC=3+$\sqrt{3}$，GC=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{3}$），EG=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（1+$\sqrt{3}$），
∵DE⊥AC，AD=DC，∠ADC=90°，
∴DE=EC=$\frac{1}{2}$AC=1+$\sqrt{3}$，
∵EG=$\frac{1}{2}$AE=$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{3}$），
∴EG=HE=$\frac{1}{2}$（3+$\sqrt{3}$），HE=EG=EC-GC=$\frac{1}{2}$（1+$\sqrt{3}$），
∴DH=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{3}$-1）
∴DE=$\sqrt{D{H}^{2}+H{E}^{2}}$=$\sqrt{[\frac{1}{2}（\sqrt{3}-1）]^{2}+[\frac{1}{2}（\sqrt{3}+1）]^{2}}$=$\sqrt{2}$．
故答案为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查翻折变换、等腰直角三角形的性质，30度的直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．