Question

16．如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$．
（1）求证：△ACD∽△CBD；
（2）求∠ACB的大小．

Answer 1

分析 （1）由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可证明△ACD∽△CBD；
（2）由（1）知△ACD∽△CBD，然后根据相似三角形的对应角相等可得：∠A=∠BCD，然后由∠A+∠ACD=90°，可得：∠BCD+∠ACD=90°，即∠ACB=90°．

解答 （1）证明：∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵$\frac{AD}{CD}$=$\frac{CD}{BD}$．
∴△ACD∽△CBD；
（2）解：∵△ACD∽△CBD，
∴∠A=∠BCD，
在△ACD中，∠ADC=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，
∴∠BCD+∠ACD=90°，
即∠ACB=90°．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟记相似三角形的判定定理与性质定理．