Question

14．如图，抛物线y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（-1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD为等腰三角形，如果存在，直接写出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线BC的上方，连接BE，CE，试求△BCE面积的最大值及此时E点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；
（2）分四种情况讨论：
①如图1，PC=CD，根据等腰三角形三线合一的性质得：PD=2DG=2OC=4，再由抛物线的解析式求出对称轴，可以得出此时P点的坐标；
②如图2，CD=PD，利用勾股定理求出CD的长，即是PD的长，可以得出此时P点的坐标有两个；
③如图3，作CD的垂直平分线PN，可得等腰△PCD，设CN=DN=x，则DN=x-$\frac{3}{2}$，根据勾股定理分别求ND和PD的长，从而得出点P的坐标；
（3）如图4，作辅助线，将所求的△BEC分成了两个三角形，则面积等于这两个三角形的面积和，先求BC的解析式，表示出E、F两点的坐标，并求出EF的长，代入面积公式可求得△BEC，并求其最大值．

解答 解：（1）把A（-1，0），C（0，2）代入y=-$\frac{1}{2}$x²+mx+n得：
$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}-m+n=0}\\{n=2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=2}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2；
（2）当△PCD为等腰三角形时，分四种情况讨论：
①如图1，当PC=CD时，△PCD为等腰三角形，
过C作CG⊥PD于G，则DG=PG，
y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{25}{8}$，
∴对称轴为：直线x=$\frac{3}{2}$，
当x=0时，y=2，
∴C（0，2），
∴OC=2，
∴DG=2，PD=4，
∴P（$\frac{3}{2}$，4）；
②如图2，当CD=PD时，△PCD为等腰三角形，
则OD=$\frac{3}{2}$，OC=2，
由勾股定理得：CD=$\sqrt{O{C}^{2}+O{D}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
∴P₁D=P₂D=CD=$\frac{5}{2}$，
∴P₁（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$），P₂（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）；
③如图3，作CD的垂直平分线PN，交对称轴于P，交x轴于N，连接CN，
则DM=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{5}{4}$，此时PC=PD，
设CN=DN=x，则DN=x-$\frac{3}{2}$，
在Rt△ONC中，${x}^{2}={2}^{2}+（x-\frac{3}{2}）^{2}$，
解得：x=$\frac{25}{12}$，
在Rt△NMD中，MN=$\sqrt{（\frac{25}{12}）^{2}-（\frac{5}{4}）^{2}}$=$\frac{5}{3}$，
tan∠PND=$\frac{DM}{MN}=\frac{PD}{ND}$，
∴$\frac{\frac{5}{4}}{\frac{5}{3}}$=$\frac{PD}{\frac{25}{12}}$，
∴PD=$\frac{25}{16}$，
∴P（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）；
综上所述，点P的坐标有四个，分别是（$\frac{3}{2}$，4）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{2}$）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）；
（3）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2=0，
解得：x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+b，
把B（4，0）、C（0，2）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=2}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
如图4，过E作EF∥y轴，交直线BC于点F，交x轴于N，过C作CM⊥EF于M，
设E（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），则F（x，-$\frac{1}{2}$x+2），
∴EF=（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2）-（-$\frac{1}{2}$x+2）=-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x（0＜x＜4），
∵S_△ABE=S_△CEF+S_△BEF=$\frac{1}{2}$EF•CM+$\frac{1}{2}$EF•BN，
=$\frac{1}{2}$EF（CM+BN）
=$\frac{1}{2}$EF•OB
=$\frac{1}{2}$×4（-$\frac{1}{2}{x}^{2}$+2x），
=-x²+4x，
=-（x-2）²+4（0＜x＜4），
∴当x=2时，△ABE的面积最大为4，此时E（2，2）．

点评 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、勾股定理及同角的三角函数；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想，并借助线段垂直平分线的性质；将三角形面积的最大值问题转化为二次函数的最值问题来解决．