Question

13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx+m-4（m≠0）与 x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）将抛物线在B，C之间的部分记为图象G（包含B，C两点），若直线y=5x+b与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据图象与y轴的交点，可得m的值，可得函数解析式；
（2）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得M在对称轴上，根据两点之间线段最短，可得M点在线段AB上，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；
（3）根据一次函数图象与区域抛物线的交点，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．

解答 解：（1）由题意可得，m-4=-3．∴m=1．
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x-3．
（2）如图，点A关于抛物线的对称轴对称的点是B，
连接BC交对称轴于点P，
则点P就是使得PA+PC的值最小的点．
由y=x²-2x-3，得对称轴是x=1，
由B（3，0），C（0，-3），得
直线BC的解析式为y=x-3，
当x=1时，y=1-3=-2，
∴点P的坐标为（1，-2）．
（3）当x=0时，直线y=5x+b≤-3，
解得b≤-3；
直线y=5x+b与抛物线相切时，得
x²-7x-（3+b）=0，
49+4（3+b）≥0，
解得b≥-$\frac{61}{4}$，
符合题意的b的取值范围是-$\frac{61}{4}$≤b≤-3．

点评 本题考察了二次函数综合题，利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等得出M在对称轴上是解题关键．