Question

18．一个多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间存在联系吗？
（1）以凸六边形为例，如果这个凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴；
（2）凸五边形可以恰好有两条对称轴吗？如果存在请画出图形，并用虚线标出两条对称轴；否则，请说明理由；
（3）通过对（1）中凸六边形的研究，请大胆猜想，一个凸多边形如果是轴对称图形，那么它的边数与对称轴的条数之间的联系是：对称轴的条数是多边形边数的约数．

Answer 1

分析 （1）根据凸六边形进行画图，然后猜想即可；
（2）根据题意画出图形，再结合轴对称图形的定义进行分析即可；
（3）根据（1）中所得的数据可得答案．

解答 解：（1）凸六边形是轴对称图形，那么它可能有1，2，3或6条对称轴，
故答案为：1，2，3或6；

（2）不可以．
理由如下：
根据轴对称图形的定义，若一个凸多边形是轴对称图形，则对称轴与多边形的交点是多边形的顶点或一条边的中点．若多边形的边数是奇数，则对称轴必经过一个顶点和一条边的中点．
如图1，设凸五边形ABCDE是轴对称图形，恰好有两条对称轴l₁，l₂，其中l₁经过A和CD的中点．
若l₂⊥l₁，则l₂与五边形ABCDE的两个交点关于l₁对称，与对称轴必经过一个顶点和一条边的中点矛盾；
若l₂不垂直于l₁，则l₂关于l₁的对称直线也是五边形ABCDE的对称轴，与恰好有两条对称轴矛盾．
所以，凸五边形不可以恰好有两条对称轴．

（3）对称轴的条数是多边形边数的约数．

点评 此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握凸六边形和图五边形的形状，掌握轴对称图形的定义．