Question

19．直线AB∥CD，EF分别交AB、CD于点M、N，NP平分∠MND．
（1）如图1，若MR平分∠EMB，则MR∥NP．请你把下面的解答过程补充完整：
解：因为AB∥CD（已知）
所以∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）
因为MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）
所以∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
所以∠EMR=∠MNP
所以MR∥NP（同位角相等，两直线平行）
（2）如图2，若MR平分∠AMN，则MR与NP又怎样的位置关系？请在横线上写出你的猜想结论：MR∥NP；
（3）如图3，若MR平分∠BMN，则MR与NP又怎样的位置关系？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠EMB=∠END，由角平分线定义得出∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，证出∠EMR=∠MNP，即可得出结论；
（2）由平行线的性质得出∠AMN=∠MND，由角平分线定义得出∠NMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，证出∠NMR=∠MNP，即可得出结论；
（3）由平行线的性质得出∠BMN+∠MND=180°，由角平分线定义得出∠RMN=$\frac{1}{2}$∠BMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，证出∠RMN+∠MNP=90°，得出∠MON=90°即可．

解答 解：（1）因为AB∥CD（已知）
所以∠EMB=∠END（两直线平行，同位角相等）
因为MR平分∠EMB，NP平分∠MND（已知）
所以∠EMR=$\frac{1}{2}$∠EMB，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
所以∠EMR=∠MNP
所以MR∥NP（同位角相等，两直线平行）
故答案为：两直线平行，同位角相等；同位角相等，两直线平行；  
（2）MR∥NP；理由如下：
因为AB∥CD（已知）
所以∠AMN=∠MND（两直线平行，内错角相等）
因为MR平分∠AMN，NP平分∠MND（已知）
所以∠NMR=$\frac{1}{2}$∠AMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND（角平分线定义）
所以∠NMR=∠MNP
所以MR∥NP（内错角相等，两直线平行）
故答案为：MR∥NP；                         
（3）MR⊥NP；理由如下：
因为AB∥CD，
所以∠BMN+∠MND=180°，
因为MR平分∠BMN，NP平分∠MND，
所以∠RMN=$\frac{1}{2}$∠BMN，∠MNP=$\frac{1}{2}$∠MND，
所以∠RMN+∠MNP=$\frac{1}{2}$（∠BMN+∠MND）=90°，
所以∠MON=90°，
所以MR⊥NP．

点评 本题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义、垂线的证明方法；熟练掌握平行线的判定与性质是解决问题的关键，注意两者的区别．