Question

抛物线y=－x2+（m－1）x+m与y轴交于（0，3）点．

（1）求出m的值和抛物线与x轴的交点。

（2）x取什么值时，y的值随x的增大而减小？

（3）x取什么值时，y＞0?

Answer 1

（1）m=3；抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0）．

（2）当x>1时,y的值随x的增大而减小

（3）当-1＜x＜3时，y＞0．

【解析】

试题分析：（1）将点（0，3）代入抛物线的解析式中，即可求得m的值；令y=0，即可得出一个关于x的一元二次方程，方程的解就是抛物线与x轴交点的横坐标；

（2）求出抛物线的对称即可得到；

（3）由（1）中抛物线与x轴的交点以及抛物线的开口方向即可求得x的取值范围．

试题解析：：（1）将（0，3）代入抛物线的解析式得：m=3．

∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3，

令y=0，则有：-x2+2x+3=0，解得x1=3，x2=-1，

∴抛物线与x轴交点坐标为（3，0），（-1，0）．

（2）抛物线y=-x2+2x+3的开口向下,对称轴为直线x=,

∴当x>1时,y的值随x的增大而减小

（3）因为抛物线开口向下，所以当-1＜x＜3时，抛物线位于x轴上方,即y＞0．

考点：1、待定系数法；2、抛物线与x轴的交点；3、抛物线的性质

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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