Question

（14分）如图，已知抛物线与x轴交于A（-2，0）、B两点，与y轴交于C点，其对称轴为直线．

（1）求抛物线的解析式；

（2）把线段AC沿x轴向右平移，设平移后A、C的对应点分别为A′、C′，当C′落在抛物线上时，求A′、C′的坐标；

（3）除（2）中的点A′、C′外，在x轴和抛物线上是否还分别存在点E、F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，若存在，求出E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）；（2）A′（0，0），C′（2，4）；（3）当点E为（，0），点F为（，－4）或点E为（，0），点F为（，－4）．

【解析】

试题分析：（1）由A点的坐标和对称轴，根据待定系数法交点抛物线的解析式；

（2）根据平移性质及抛物线的对称性，求出A′、C′的坐标；

（3）以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形，需要分两种情况讨论．

试题解析：（1）∵A（﹣2，0），对称轴为直线x=1．∴，

解得：，∴抛物线的解析式为：；

（2）由抛物线可知C（0，4），∵抛物线的对称轴为直线x=1，根据对称性，∴C′（2，4），∴A′（0，0）；

(3) 存在，共有两种情况：

①如图，四边形ACEF是平行四边形，过点F作FD⊥x轴，∴AF=CE，∠AEC=∠EAF，∠ADF=∠AOC=90°，∴∠DAF=∠CEO，∴△ADF≌△EOC，∴DF=CO=4，AD=EO，∴点F的纵坐标为－4，∵点F在抛物线的图像上，即解得，，∴点F(，－4)，

∴DO=，∵AO=2，∴AD=EO=DO-AO=，∴点E（，0），

所以点E的坐标为（，0），点F的坐标为(，－4)；

②如图，四边形ACE′F′是平行四边形，过点F′作F′H⊥x轴，∴AC=E′F′，∠CAO=∠F′E′H，∠AOC=∠F′HE′=90°，∴△AOC≌△E′HF′，∴HF′=CO=4，AO=E′H，得点F′的纵坐标是－4，∵点F′在抛物线的图像上，即，解得，，则点F′的坐标为（，－4），∴EH=，E′H=AO=2，∴OE′=，∴点E的坐标为（，0），所以点E的坐标为（，0），点F的坐标为（，－4）；

综上可知，当点E（，0），点F (，－4)或点E（，0），点F（，－4）时，以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形．

考点：1．二次函数综合题；2．代数几何综合题．

考点分析： 考点1：二次函数 定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x 的二次函数。
①所谓二次函数就是说自变量最高次数是2;
②二次函数（a≠0）中x、y是变量，a，b，c是常数，自变量x 的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a=0时，变为y=bx+c若b≠0,则y=bx+c是一次函数，若b=0，则y=c是一个常数函数。
③二次函数（a≠0）与一元二次方程（a≠0）有密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次函数。 二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；
（2）顶点式： （a，h，k是常数，a≠0）
（3）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根x₁和x₂存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。

二次函数的一般形式的结构特征：
①函数的关系式是整式；
②自变量的最高次数是2；
③二次项系数不等于零。 二次函数的判定：
二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；
当b=0，c=0时，y=ax²是特殊的二次函数；
判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。 试题属性

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