Question

如图①，△ABC中，∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于D．
（1）若∠D=50°，求∠A的度数；
（2）探究∠A与∠D之间的数量关系；
（3）如图②，连结AD，求证：AD平分∠BAC．

Answer 1

考点：角平分线的性质,三角形内角和定理

专题：

分析：（1）根据三角形的内角和定理，可得∠CAB+∠CBA的度数，则可得出∠EAB+∠FBA的度数，又AD、BD是△ABC的外角平分线，所以，可得∠DAB+∠DBA的度数，即可得到∠D的度数；
（2）根据题（1）的推导过程，可得出∠A与∠D之间的数量关系；
（3）分别过D作DM、DN、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为M、N、G，然后利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知DM=DG，再利用到角两边距离相等的点在角的平分线上即可证明．

解答：（1）解：∵∠D=50°，
∴∠BCD+∠CBD=130°，
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于D，
∴∠BCE=2∠BCD，∠CBF=2∠CBD，
∴∠BCE+∠CBF=2∠BCD+2∠CBD=2（∠BCD+∠CBD）=260°，
∴∠ACB+∠ABC=（180°-∠BCE）+（180°-∠CBF）=360°-（∠BCE+∠CBF）=100°，
∴∠A=180°-（∠ACB+∠ABC）=80°；

（2）解：由题意可得，∠BCD+∠CBD=180°-∠D，
∵∠ABC的外角平分线与∠ACB的外角平分线交于D，
∴∠BCE=2∠BCD，∠CBF=2∠CBD，
∴∠BCE+∠CBF=2∠BCD+2∠CBD=2（∠BCD+∠CBD）=360°-2∠D，
∴∠ACB+∠ABC=（180°-∠BCE）+（180°-∠CBF）=360°-（360°-2∠D）=2∠D，
∴∠A=180°-（∠ACB+∠ABC）=180°-2∠D，
即∠A=180°-2∠D；

（3）证明：分别过D作DM、DN、DG垂直于AB、BC、AC，垂足分别为M、N、G，
∵BD平分∠CBF，DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∴DM=DN．
同理DG=DN，
∴DM=DG，
∴点D在∠BAC平分线上，
∴AD平分∠BAC．

点评：本题主要考查的是三角形内角和定理，角平分线的性质及判定：
（1）三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
（2）角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
（3）角平分线的判定：到角两边距离相等的点在角的平分线上．